hp41programs

Tetrahedron

Tetrahedron for the HP-41


Overview
 

 0°)  Volume of a Tetrahedron
 1°)  Insphere, Circumsphere and Exspheres
 2°)  Dihedral Angles

  a)  Dihedral Angles
  b)  Volume + Dihedral Angles

 3°)  Trihedral Angles
 4°)  Random Tetrahedra
 5°)  A few Heron Tetrahedra

  a)  Program#1
  b)  Program#2 ( Long Integers )

 6°)  Generating Integer Tetrahedra
 

-We use the following conventions:
-The edges  d , e , f  are respectively opposite to  a , b , c   ( non co-planar )
-The edges  a , b , c  intersect at the same vertex  S

                                        C
                                         *
                                     *      *
                                  *             *
                               *         d *     *
                        c  *                           *    e
                         *                      B         *
                      *                         *              *
                   *               b *                *         *
               *            *                             f  *      *
             *      *                                                *  *
       S *     *    *    *    *    *    *    *    *    *    *     *  A
                                         a
 

0°)  Volume of a Tetrahedron
 

-This program is almost the same as "THV" listed in "Heron Formula and its generalization"
-But here, R00 and R07 are unused.
-Moreover, a negative number is returned if  V2 < 0  to avoid a DATA ERROR in this case
 

Data Registers:              R00 = unused                 ( Registers R01 thru R06 are to be initialized before executing "THV" )

                                      •  R01 = a       •  R04 = d
                                      •  R02 = b       •  R05 = e
                                      •  R03 = c       •  R06 = f
Flags: /
Subroutines: /
 
 

 01  LBL "THV"
 02  4
 03  RCL 01 
 04  X^2
 05  ST* Y
 06  RCL 06      
 07  X^2
 08  -
 09  RCL 02
 10  X^2
 11  ST* Z
 12  +
 13  STO Z
 14  X^2
 15  -
 16  RCL 03      
 17  X^2
 18  ST* Y
 19  RCL 04
 20  X^2
 21  -
 22  RCL 02
 23  X^2
 24  +
 25  ST* Z
 26  RCL 01      
 27  *
 28  X^2
 29  -
 30  RCL 01
 31  X^2
 32  RCL 05
 33  X^2
 34  -
 35  RCL 03      
 36  X^2
 37  +
 38  ST* Z
 39  RCL 02
 40  *
 41  X^2
 42  -
 43  +
 44  SIGN
 45  LASTX      
 46  ABS
 47  SQRT
 48  *
 49  12
 50  /
 51  END

 
      ( 66 bytes / SIZE 007 )
 
 

      STACK        INPUT       OUTPUT
           X             /        Volume

           ---Execution time = 2s---

Example1:           a = 6   b = 7   c = 8   d = 9   e = 10   f = 11

-Store these 6 numbers into  R01 thru R06

  XEQ "THV"  >>>>   V = 48
 

Example2:          a = 3   b = 5   c = 7   d = 6   e = 8   f = 2

-Store these 6 numbers into  R01 thru R06

  XEQ "THV"  >>>>  V = -12

-Since the result is "negative" ( actually  V = 12 i )  this is not a real tetrahedron !
 

1°)  Insphere, Circumsphere and Exspheres
 

-Given the 6 sides of a tetrahedron a , b , c , d , e , f , this program computes the volume V of the tetrahedron,
  and the radii  r , R , r1 , r2 , r3 , r4  of the insphere, the circumsphere and the 4 exspheres.
-There are 3 other "exterior" spheres that are not calculated by this routine - though they could be...
 

 Formulae:

-The areas W , X , Y , Z  of the 4 faces  ABC , SBC , SCA , SAB are calculated by Héron's formula.
  V is computed by the formula given in "Héron's Formula and its Generalization for the HP-41"

-Let P = ( a d + b e + c f ) / 2   we have R = circumradius = (1/(6V)) [ P ( P - a d ) ( P - b e ) ( P - c f ) ] 1/2

   W + X + Y + Z = 3V/r    and

  -W + X + Y + Z = 3V/r1
   W  - X + Y + Z = 3V/r2
   W + X  - Y + Z = 3V/r3
   W + X + Y  - Z = 3V/r4
 

Data Registers:              R00 = 3 V                  ( Registers R01 thru R06 are to be initialized before executing "THVR" )

                                      •  R01 = a       •  R04 = d       R07 = r1     R09 = r3       R11 thru R13:  temp
                                      •  R02 = b       •  R05 = e       R08 = r2     R10 = r4        R14 = r
                                      •  R03 = c       •  R06 = f
Flags: /
Subroutines: /
 
 

  01  LBL "THVR"
  02  RCL 01 
  03  X^2
  04  STO 08
  05  RCL 06       
  06  X^2
  07  -
  08  RCL 02 
  09  X^2
  10  STO 09
  11  ST+ Y
  12  RCL 04
  13  X^2
  14  -
  15  RCL 03
  16  X^2
  17  STO 10
  18  +
  19  STO 07
  20  RCL 08
  21  LASTX
  22  +
  23  RCL 05
  24  X^2
  25  -
  26  STO 00
  27  *
  28  X<>Y
  29  RCL 10
  30  *
  31  -
  32  *
  33  RCL 09 
  34  RCL 10       
  35  *
  36  4
  37  *
  38  RCL 07 
  39  X^2
  40  -
  41  RCL 08
  42  *
  43  +
  44  RCL 00
  45  RCL 02
  46  *
  47  X^2
  48  -
  49  SQRT
  50  4
  51  /
  52  STO 00
  53  RCL 04
  54  RCL 05
  55  RCL 06
  56  XEQ 00
  57  STO 10
  58  RCL 02
  59  RCL 03
  60  RCL 04
  61  XEQ 00
  62  STO 11
  63  RCL 01
  64  RCL 03 
  65  RCL 05       
  66  XEQ 00
  67  STO 12
  68  RCL 01 
  69  RCL 02 
  70  RCL 06
  71  XEQ 00
  72  STO 13
  73  GTO 01
  74  LBL 00
  75  STO 13
  76  X<>Y
  77  ST+ 13
  78  X<> Z
  79  ST+ 13
  80  2
  81  ST/ 13
  82  X<> 13
  83  ST- Y
  84  ST- Z
  85  ST- T
  86  *
  87  *
  88  *
  89  CHS
  90  SQRT
  91  RTN
  92  LBL 01
  93  RCL 00
  94  X<>Y
  95  RCL 10 
  96  RCL 11       
  97  +
  98  +
  99  RCL 12 
100  +
101  /
102  STO 14
103  CLX
104  RCL 11
105  RCL 12
106  +
107  RCL 13
108  +
109  RCL 10
110  -
111  /
112  STO 07
113  CLX
114  RCL 10
115  RCL 11
116  -
117  RCL 12
118  +
119  RCL 13
120  +
121  /
122  STO 08
123  CLX
124  RCL 10
125  RCL 11 
126  +
127  STO 09       
128  RCL 12 
129  ST+ 09
130  -
131  RCL 13 
132  ST- 09
133  +
134  /
135  X<> 09
136  /
137  STO 10
138  RCL 01
139  RCL 04
140  *
141  RCL 02
142  RCL 05
143  *
144  RCL 03
145  RCL 06
146  *
147  XEQ 00
148  2
149  /
150  RCL 14
151  RCL 00
152  ST/ Z
153  3
154  /
155  END

 
        ( 188 bytes / SIZE 015 )
 
 

      STACK        INPUTS      OUTPUTS
           Z             /            R
           Y             /            r
           X             /        Volume

           ---Execution time = 8 seconds---

Example:    a = 3   b = 5   c = 7   d = 6   e = 8   f = 4

   3  STO 01     6  STO 04
   5  STO 02     8  STO 05
   7  STO 03     4  STO 06

  XEQ "THVR"  >>>>   V = 8.426149777           Volume
                          RDN    r  = 0.591887583           Insphere
                          RDN   R =  4.350408756          Circumsphere

  and the radii of the 4 exspheres

    R07 = 1.298308607 = r1
    R08 = 1.898591600 = r2
    R09 = 1.153025424 = r3
    R10 = 0.823182564 = r4

Notes:

-Lines 56-61-66-71-147 may be replaced by  XEQ "HERON"
-In this case, delete lines 73 to 92.
 

2°)  Dihedral Angles
 

     a)  Dihedral Angles
 

-Let be A , B , C , D , E , F the 6 dihedral angles corresponding to the edges  SA , SB , SC , BC , AC , AB.
-With the same notations as above, we have:
 

   W2 + X2 - 2 W.X Cos D = Y2 + Z2 - 2 Y.Z Cos A = [ 4 a2d2 - ( b2 - c2 + e2 - f2 )2 ] / 16
   W2 + Y2 - 2 W.Y Cos E = Z2 + X2 - 2 Z.X  Cos B = [ 4 b2e2 - ( c2 - a2 + f2 - d2 )2 ] / 16
   W2 + Z2 - 2 W.Z  Cos F = X2 + Y2 - 2 X.Y Cos C = [ 4 c2f2 - ( a2 - b2 + d2 - e2 )2 ] / 16
 

Data Registers:              R00 = W                        ( Registers R01 thru R06 are to be initialized before executing "THDA" )

                                      •  R01 = a       •  R04 = d          R07 = A     R10 = D       R13 = X
                                      •  R02 = b       •  R05 = e          R08 = B     R11 = E        R14 = Y
                                      •  R03 = c       •  R06 = f           R09 = C     R12 = F        R15 = Z
Flags: /
Subroutine:  "HERON"   ( cf "Héron's Formula and its Generalization for the HP-41" )
 
 

  01  LBL "THDA"
  02  RCL 02
  03  RCL 03
  04  RCL 04
  05  XEQ "HERON"
  06  STO 13 
  07  RCL 01
  08  RCL 03 
  09  RCL 05
  10  XEQ "HERON"
  11  STO 14            
  12  RCL 01
  13  RCL 02
  14  RCL 06
  15  XEQ "HERON"
  16  STO 15
  17  RCL 04
  18  RCL 05
  19  RCL 06
  20  XEQ "HERON"
  21  STO 00
  22  RCL 03
  23  X^2
  24  RCL 01
  25  X^2
  26  -
  27  RCL 06
  28  X^2
  29  +
  30  RCL 04 
  31  X^2
  32  -
  33  X^2
  34  RCL 02 
  35  RCL 05            
  36  *
  37  ST+ X
  38  X^2
  39  -
  40  16
  41  /
  42  STO 08
  43  RCL 13
  44  RCL 15
  45  XEQ 01
  46  X<> 08
  47  RCL 00
  48  RCL 14
  49  XEQ 01
  50  STO 11
  51  RCL 01
  52  X^2
  53  RCL 02 
  54  X^2
  55  -
  56  RCL 04
  57  X^2
  58  +
  59  RCL 05            
  60  X^2
  61  -
  62  X^2
  63  RCL 03
  64  RCL 06
  65  *
  66  ST+ X
  67  X^2
  68  -
  69  16
  70  /
  71  STO 09
  72  RCL 13
  73  RCL 14
  74  XEQ 01
  75  X<> 09
  76  RCL 00 
  77  RCL 15 
  78  XEQ 01
  79  STO 12
  80  RCL 02
  81  X^2
  82  RCL 03 
  83  X^2
  84  -
  85  RCL 05
  86  X^2
  87  +
  88  RCL 06            
  89  X^2
  90  -
  91  X^2
  92  RCL 01
  93  RCL 04
  94  *
  95  ST+ X
  96  X^2
  97  -
  98  16
  99  /
100  STO 10 
101  RCL 00 
102  RCL 13
103  XEQ 01
104  X<> 10
105  RCL 14
106  RCL 15 
107  LBL 01            
108  STO T
109  X^2
110  X<>Y
111  ST* T
112  X^2
113  +
114  +
115  X<>Y
116  ST+ X
117  /
118  ACOS
119  STO 07
120  END

 
        ( 175 bytes / SIZE 016 )
 
 

      STACK        INPUT      OUTPUT
           X             /            A

          ---Execution time = 12 seconds---

Example:      a = 3   b = 5   c = 7   d = 6   e = 8   f = 4

   3  STO 01     6  STO 04
   5  STO 02     8  STO 05
   7  STO 03     4  STO 06

   XEQ "THDA"  >>>>   A = 37°45260641 = R07  and

   R08 = B = 134°2207078
   R09 = C =  35°39909117
   R10 = D =  26°36558508
   R11 = E = 123°1336864
   R12 = F =  46°48611259

Notes:

-You will get these results if your HP-41 is in DEG mode.
-"THDA" works in all angular modes.
 

     b)  Volume + Dihedral Angles
 

-The program above may be completed to get the volume of the tetrahedron by the following formula:
 

    V2 = (2/9) X.Y.Z ( 1 - 2 Cos A Cos B Cos C - Cos2 A - Cos2B - Cos2 C )
 

Data Registers:              R00 = Volume                ( Registers R01 thru R06 are to be initialized before executing "THVDA" )

                                      •  R01 = a       •  R04 = d          R07 = A     R10 = D       R13 = X     R16 = W    R17: temp
                                      •  R02 = b       •  R05 = e          R08 = B     R11 = E        R14 = Y
                                      •  R03 = c       •  R06 = f           R09 = C     R12 = F        R15 = Z
Flags: /
Subroutine:  "HERON"   ( cf "Héron's Formula and its Generalization for the HP-41" )
 
 

  01  LBL "THVDA"
  02  RCL 02
  03  RCL 03
  04  RCL 04
  05  XEQ "HERON"
  06  STO 13 
  07  RCL 01
  08  RCL 03
  09  RCL 05
  10  XEQ "HERON"
  11  STO 14 
  12  RCL 01
  13  RCL 02
  14  RCL 06
  15  XEQ "HERON"
  16  STO 15
  17  RCL 04
  18  RCL 05
  19  RCL 06
  20  XEQ "HERON"
  21  STO 16 
  22  RCL 03
  23  X^2
  24  RCL 01
  25  X^2
  26  -
  27  RCL 06
  28  X^2
  29  +
  30  RCL 04
  31  X^2
  32  -
  33  X^2
  34  RCL 02
  35  RCL 05 
  36  *
  37  ST+ X
  38  X^2
  39  -
  40  16
  41  /
  42  STO 12
  43  RCL 13 
  44  RCL 15            
  45  XEQ 01
  46  STO 08
  47  LASTX
  48  STO 00
  49  X^2
  50  STO 17
  51  RCL 12
  52  RCL 14
  53  RCL 16 
  54  XEQ 01
  55  STO 11
  56  RCL 01
  57  X^2
  58  RCL 02
  59  X^2
  60  -
  61  RCL 04
  62  X^2
  63  +
  64  RCL 05
  65  X^2
  66  -
  67  X^2
  68  RCL 03 
  69  RCL 06
  70  *
  71  ST+ X
  72  X^2
  73  -
  74  16
  75  /
  76  STO 12            
  77  RCL 13
  78  RCL 14
  79  XEQ 01
  80  STO 09
  81  LASTX
  82  ST* 00
  83  X^2
  84  ST+ 17
  85  RCL 12 
  86  RCL 15
  87  RCL 16
  88  XEQ 01
  89  STO 12
  90  RCL 02
  91  X^2
  92  RCL 03
  93  X^2
  94  -
  95  RCL 05
  96  X^2
  97  +
  98  RCL 06 
  99  X^2
100  -
101  X^2
102  RCL 01
103  RCL 04
104  *
105  ST+ X
106  X^2
107  -
108  16
109  /
110  STO 10 
111  RCL 14
112  RCL 15            
113  XEQ 01
114  STO 07
115  LASTX
116  ST* 00
117  X^2
118  ST+ 17
119  RCL 10 
120  RCL 13
121  RCL 16
122  XEQ 01
123  STO 10
124  GTO 02
125  LBL 01
126  STO T
127  X^2
128  X<>Y
129  ST* T
130  X^2
131  +
132  +
133  X<>Y
134  ST+ X
135  /
136  ACOS
137  RTN
138  LBL 02
139  SIGN
140  RCL 00 
141  ST+ X
142  -
143  RCL 17            
144  -
145  SQRT
146  RCL 13
147  RCL 14
148  RCL 15 
149  *
150  *
151  ST+ X
152  *
153  SQRT
154  3
155  /
156  STO 00
157  END

 
         ( 225 bytes / SIZE 018 )
 
 

      STACK        INPUT      OUTPUT
           X             /            V

          ---Execution time = 14 seconds---

Example:      a = 3   b = 5   c = 7   d = 6   e = 8   f = 4

   3  STO 01     6  STO 04
   5  STO 02     8  STO 05
   7  STO 03     4  STO 06

   XEQ "THVDA"  >>>>   V = 8.426149767

   R07 = A = 37°45260641
   R08 = B = 134°2207078
   R09 = C =  35°39909117
   R10 = D =  26°36558508
   R11 = E = 123°1336864
   R12 = F =  46°48611259

Note:

-"THVDA" works in all angular modes.
 

3°)  Trihedral Angles
 

-The solid angle ( or trihedral angle )  S is given by the formula:

   Tan (S/2) = 6.V / [ ( a.b ) c + ( b.c ) a + ( c.a ) b + abc ]   where  . = dot product and  a = SA , b = SB , c = SC

-The 3 other trihedral angles A , B , C  are computed by similar formulae but "THTA" changes the order of a , b , c , d , e , f in registers R01 thru R06.
-The original contents of these registers are restored at the end.

-The volume V of the tetrahedron is also calculated and stored in R00.
 

Data Registers:              R00 = Volume                     ( Registers R01 thru R06 are to be initialized before executing "THTA" )

                                      •  R01 = a       •  R04 = d          R07 = S          R08 = A           R09 = B       R10 = C
                                      •  R02 = b       •  R05 = e
                                      •  R03 = c       •  R06 = f
Flags: /
Subroutine:  "THV"   ( cf "Héron's Formula and its Generalization for the HP-41" paragraph 2°-a) or this page paragraph 0 )
 
 

 01  LBL "THTA"
 02  XEQ "THV"
 03  STO 00
 04  XEQ 01
 05  STO 08 
 06  XEQ 01
 07  STO 09       
 08  XEQ 01
 09  STO 10
 10  XEQ 01
 11  STO 07
 12  RCL 10
 13  RCL 09
 14  RCL 08
 15  R^
 16  RTN
 17  LBL 01
 18  RCL 01 
 19  X<> 03
 20  X<> 04
 21  X<> 06
 22  STO 01       
 23  RCL 02 
 24  X<> 05
 25  STO 02
 26  RCL 06
 27  XEQ 02
 28  RCL 03
 29  *
 30  RCL 02
 31  RCL 03
 32  RCL 04 
 33  XEQ 02
 34  RCL 01
 35  *
 36  +
 37  RCL 01       
 38  RCL 03
 39  RCL 05
 40  XEQ 02
 41  RCL 02
 42  *
 43  +
 44  RCL 01
 45  RCL 02
 46  RCL 03 
 47  *
 48  *
 49  ST+ X
 50  +
 51  RCL 00       
 52  12
 53  *
 54  X<>Y
 55  R-P
 56  X<>Y
 57  ST+ X
 58  RTN
 59  LBL 02 
 60  X^2
 61  CHS
 62  X<>Y
 63  X^2
 64  +
 65  X<>Y        
 66  X^2
 67  +
 68  END

 
         ( 102 bytes / SIZE 011 )
 
 

      STACK        INPUTS      OUTPUTS
           T             /            C
           Z             /            B
           Y             /            A
           X             /            S

          ---Execution time = 12 seconds---

Example:    a = 3   b = 5   c = 7   d = 6   e = 8   f = 4

   3  STO 01     6  STO 04
   5  STO 02     8  STO 05
   7  STO 03     4  STO 06

   XEQ "THTA"  >>>>   S = 27°07240548 = R07
                           RDN   A = 27°07240548 = R08
                           RDN   B = 27°07240548 = R09
                           RDN   C = 4°898362738 = R10

   and   R00 = V = 8.426149775

Notes:

-"THTA" works in all angular modes.
-It stops at line 16.

-We always have:     2 x SUM ( dihedral angles ) - SUM ( trihedral angles ) = 720°
 

4°)  Random Tetrahedra
 

-You specify 2 integers N & M, and your HP-41 returns a tetrahedron
  with integer edge lengths a , b , c  between  N and M  ( exclusive )
  and integer  d , e , f  such that the tetrahedron does exist.

-Place a random seed in R00 before executing "RANT"
 

Data Registers:          •   R00 = Random seed                          ( Register R00 is to be initialized before executing "RANT" )

                                         R01 = a         R04 = d          R07 to R09: temp
                                         R02 = b         R05 = e
                                         R03 = c         R06 = f
Flags: /
Subroutine:  "THV"   ( cf paragraph 0 above )
 
 

 01  LBL "RANT"
 02  X>Y?
 03  X<>Y
 04  1
 05  +
 06  STO 07
 07  -
 08  STO 08 
 09  LBL 01
 10  6
 11  STO 09       
 12  RCL 07
 13  RCL 08
 14  XEQ 00
 15  STO 01
 16  RCL 07
 17  RCL 08
 18  XEQ 00
 19  STO 02
 20  RCL 07
 21  RCL 08
 22  XEQ 00
 23  STO 03
 24  RCL 02 
 25  ST+ Y
 26  RCL 03       
 27  -
 28  ABS
 29  1
 30  +
 31  STO Z
 32  -
 33  XEQ 00
 34  STO 04
 35  RCL 03
 36  RCL 01
 37  ST+ Y
 38  RCL 03
 39  -
 40  ABS
 41  1
 42  +
 43  STO Z
 44  -
 45  XEQ 00
 46  STO 05 
 47  RCL 01       
 48  RCL 02
 49  +
 50  RCL 04
 51  RCL 05
 52  +
 53  X>Y?
 54  X<>Y
 55  RCL 01
 56  RCL 02 
 57  -
 58  ABS
 59  RCL 04
 60  RCL 05       
 61  -
 62  ABS
 63  X>Y?
 64  X<>Y
 65  SIGN
 66  +
 67  STO Z
 68  -
 69  LBL 00
 70  RCL 00
 71  R-D
 72  FRC
 73  STO 00 
 74  *
 75  INT
 76  +
 77  DSE 09
 78  RTN
 79  STO 06       
 80  XEQ "THV"
 81  X<0?
 82  GTO 01
 83  END

 
           ( 113 bytes / SIZE 010 )
 
 

      STACK        INPUT      OUTPUT
           Y            N            /
           X            M            V

    With     N < M - 1

Example:    random seed = 1   N = 10  M = 100

    1   STO 00

   10   ENTER^
  100  XEQ "RANT"  >>>>   V = 37246.9581               ---Execution time = 12s---

and we find in registers R01 to R06   ( a  b  c  d  e  f )  =  ( 47  60  86  115  88  86 )
 

Notes:

-The edges lengths  d  e  f  are not always between  N & M
-After calculating "random edges lengths" satisfying all the triangle inequalities,  "RANT"  calls "THV"
-If the volume is "negative" - in fact imaginary - another tetrahedron is computed until V > 0
 

5°)  A few Heron Tetrahedra
 

     a) Program#1
 

-Many formulae may be found in reference [5] to get "Heronian" tetrahedra, i-e whose edges lengths, surface areas and volume are integers

 "HERT" employs one of these formulae, where p is a positive integer,  p > 2

  a = d = ( p2 + 25 ) ( 2 p2 + 1 ) ( 16 p4 + 9 p2 + 25 )
  b = e = 2 ( p2 - 3 ) ( p2 + 4 ) ( 65 p4 + 58 p2 + 25 )
  c = f = 7 ( p2 + 1 ) ( 9 p2 + 1 ) ( 2 p4 + 2 p2 + 25 )
 

Data Registers:              R00 = unused

                                        R01 = a         R04 = d = a        R07 = Volume
                                        R02 = b         R05 = e = b
                                        R03 = c         R06 = f = c
Flags: /
Subroutine:  "THV"  ( cf paragraph 0 above )
 
 

 01  LBL "HERT"
 02  X^2
 03  STO 07
 04  ST+ X
 05  1
 06  +
 07  RCL 07       
 08  25
 09  +
 10  *
 11  RCL 07
 12  16
 13  *
 14  9
 15  +
 16  RCL 07
 17  *
 18  25
 19  +
 20  *
 21  STO 01 
 22  STO 04       
 23  RCL 07
 24  65
 25  *
 26  58
 27  +
 28  RCL 07
 29  *
 30  25
 31  +
 32  RCL 07 
 33  4
 34  +
 35  *
 36  RCL 07       
 37  3
 38  -
 39  *
 40  ST+ X
 41  STO 02
 42  STO 05
 43  RCL 07
 44  1
 45  +
 46  ST+ X
 47  RCL 07
 48  *
 49  25
 50  +
 51  RCL 07       
 52  9
 53  *
 54  1
 55  +
 56  *
 57  RCL 07
 58  1
 59  +
 60  *
 61  7
 62  *
 63  STO 03
 64  STO 06 
 65  XEQ "THV"
 66  STO 07
 67  RCL 03       
 68  RCL 02
 69  RCL 01
 70  END

 
        ( 93 bytes / SIZE 008 )
 
 

      STACK        INPUT      OUTPUT
           T             /            V
           Z             /            c
           Y             /            b
           X             p            a

      where  p > 2  is an integer

Example:     p = 7

     7   XEQ "HERT"  >>>>   a = d = 284849532                                ---Execution time = 5s---
                                  RDN   b = e = 774952432
                                  RDN   c = f =  761897500
                                  RDN   V = 9.717195725 E24

-Actually, the exact volume = 9717195754820025574502400

Note:

-Unfortunately, the edge-lengths rapidly become > E10 , so we only have approximate values of a , b , c
 

     b) Program#2  ( Long Integers )
 

-Given an integer p > 1 , "LHERT" calculates the 6 edges a , b , c , d , e , f  with the formulas hereunder

a = 2p(p^4 + 2p^3 - 2p + 1)(p^12 + 4p^11 + 6p^10 + 4p^9 + 3p^8 + 16p^7 + 12p^6 - 16p^5 + 3p^4 - 4p^3 + 6p^2 - 4p + 1)
b = (p^2 + 1)(p^2 + 2p - 1)^2 (p^4 + 1) (p^8 + 2p^7 + 2p^6 + 6p^5 + 2p^4 - 6p^3 + 2p^2 - 2p + 1)
c = (p^2 + 1)(p^2 + 2p - 1) (p^4 - 4p^2 + 1) (p^4 + 2p^3 + 2p^2 - 2p + 1)(p^6 + 2p^5 + 3p^4 - 3p^2 + 2p - 1).

d = 4p(p + 1)(p - 1)(p^2 + 1)(p^2 + 2p - 1)(p^3 + p^2 + p - 1) (p^3 + p^2 - p + 1)(p^4 + 2p^3 - 2p + 1),
e = (p + 1)(p - 1)(p^3 + p^2 + p - 1)(p^3 + p^2 - p + 1) (p^5 + p^4 + 4p^2 - 3p + 1)(p^5 + 3p^4 + 4p^3 + p - 1),
f = (p + 1)^2 (p - 1)^2 (p^3 + p^2 + p - 1)(p^3 + p^2 - p + 1) (p^4 + 4p^2 - 4p + 1)(p^4 + 4p^3 + 4p^2 + 1)

-The results are stored by groups of 4 digits
-When the program stops, R01 thru R06 contain the control numbers of the 6 edges a , b , c , d , e , f
 

Data Registers:              R00 temp

                                        R01 = bbb.eee(a)         R04 = bbb.eee(d)          R07 .....
                                        R02 = bbb.eee(b)         R05 = bbb.eee(e)
                                        R03 = bbb.eee(c)         R06 = bbb.eee(f)

Flags: /
Subroutines:  /
 
 
 

  01  LBL "LHERT"
  02  CLRG
  03  STO 01
  04  9.008
  05  STO 00
  06   E4
  07  STO 07
  08  SIGN
  09  XEQ 00
  10  6
  11  XEQ 00
  12  15
  13  XEQ 00
  14  20
  15  XEQ 00
  16  CLX
  17  XEQ 00
  18  56
  19  CHS
  20  XEQ 00
  21  64
  22  CHS
  23  XEQ 00
  24  28
  25  XEQ 00
  26  78
  27  XEQ 00
  28  4
  29  XEQ 00          
  30  78
  31  CHS
  32  XEQ 00
  33  28
  34  XEQ 00
  35  64
  36  XEQ 00
  37  56
  38  CHS
  39  XEQ 00
  40  CLX
  41  XEQ 00
  42  20
  43  XEQ 00
  44  15
  45  CHS
  46  XEQ 00
  47  6
  48  XEQ 00
  49  1
  50  ST- IND 00
  51  RCL IND 00
  52  X<0?
  53  XEQ 02
  54  RCL 00
  55  STO 06
  56  XEQ 04
  57  1
  58  XEQ 00
  59  6
  60  XEQ 00
  61  15
  62  XEQ 00
  63  20
  64  XEQ 00
  65  16
  66  XEQ 00
  67  8
  68  XEQ 00
  69  16
  70  CHS
  71  XEQ 00
  72  36
  73  CHS
  74  XEQ 00
  75  18
  76  CHS
  77  XEQ 00
  78  4
  79  XEQ 00
  80  18
  81  XEQ 00
  82  36
  83  CHS
  84  XEQ 00          
  85  16
  86  XEQ 00
  87  8
  88  XEQ 00
  89  16
  90  CHS
  91  XEQ 00
  92  20
  93  XEQ 00
  94  15
  95  CHS
  96  XEQ 00
  97  6
  98  XEQ 00
  99  1
100  ST- IND 00
101  RCL IND 00
102  X<0?
103  XEQ 02
104  RCL 00
105  STO 05
106  XEQ 04
107  4
108  XEQ 00
109  24
110  XEQ 00
111  48
112  XEQ 00
113  24
114  XEQ 00
115  40
116  CHS
117  XEQ 00
118  56
119  CHS
120  XEQ 00
121  16
122  CHS
123  XEQ 00
124  8
125  XEQ 00
126  CLX
127  XEQ 00
128  8
129  XEQ 00
130  16
131  XEQ 00
132  56
133  CHS
134  XEQ 00
135  40
136  XEQ 00
137  24
138  XEQ 00          
139  48
140  CHS
141  XEQ 00
142  24
143  XEQ 00
144  4
145  CHS
146  XEQ 00
147  RCL 00
148  STO 04
149  XEQ 04
150  1
151  XEQ 00
152  6
153  XEQ 00
154  13
155  XEQ 00
156  4
157  XEQ 00
158  44
159  CHS
160  XEQ 00
161   E2
162  CHS
163  XEQ 00
164  84
165  CHS
166  XEQ 00
167  4
168  XEQ 00
169  50
170  XEQ 00
171  CLX
172  XEQ 00
173  50
174  XEQ 00
175  4
176  CHS
177  XEQ 00
178  84
179  CHS
180  XEQ 00
181   E2
182  XEQ 00
183  44
184  CHS
185  XEQ 00
186  4
187  CHS
188  XEQ 00
189  13
190  XEQ 00
191  6
192  CHS
193  XEQ 00          
194  1
195  ST+ IND 00
196  RCL IND 00
197  RCL 07
198  X<=Y?
199  XEQ 02
200  RCL 00
201  STO 03
202  XEQ 04
203  1
204  XEQ 00
205  6
206  XEQ 00
207  13
208  XEQ 00
209  20
210  XEQ 00
211  36
212  XEQ 00
213  28
214  XEQ 00
215  4
216  CHS
217  XEQ 00
218  20
219  XEQ 00
220  18
221  XEQ 00
222  CLX
223  XEQ 00
224  18
225  XEQ 00
226  20
227  CHS
228  XEQ 00
229  4
230  CHS
231  XEQ 00
232  28
233  CHS
234  XEQ 00
235  36
236  XEQ 00
237  20
238  CHS
239  XEQ 00
240  13
241  XEQ 00
242  6
243  CHS
244  XEQ 00
245  1
246  ST+ IND 00
247  RCL IND 00
248  RCL 07
249  X<=Y?
250  XEQ 02
251  RCL 00          
252  STO 02
253  XEQ 04
254  2
255  XEQ 00
256  12
257  XEQ 00
258  28
259  XEQ 00
260  28
261  XEQ 00
262  8
263  XEQ 00
264  28
265  XEQ 00
266  84
267  XEQ 00
268  12
269  XEQ 00
270  116
271  CHS
272  XEQ 00
273  12
274  CHS
275  XEQ 00
276  84
277  XEQ 00
278  28
279  CHS
280  XEQ 00
281  8
282  XEQ 00
283  28
284  CHS
285  XEQ 00
286  28
287  XEQ 00
288  12
289  CHS
290  XEQ 00
291  2
292  XEQ 00
293  RCL 00
294  STO 01
295  6
296  STO 07
297  GTO 10
298  LBL 00
299  ST+ IND 00
300  RCL 00
301  RCL 01
302  LBL 01
303  ST* IND Y
304  DSE Y
305  GTO 01
306  RCL 00          
307  FRC
308   E3
309  *
310  SIGN
311  CLX
312  STO IND L
313  LBL 02
314  RCL 00
315  ENTER^
316  DSE X
317  LBL 03
318  RCL IND Y
319  RCL 07
320  MOD
321  ENTER^
322  X<> IND T
323  X<>Y
324  -
325  RCL 07
326  /
327  ST+ IND Y
328  CLX
329  SIGN
330  -
331  DSE Y
332  GTO 03
333  X<>Y
334  INT
335  RCL IND X
336  X=0?
337  RTN
338  CLX
339  RCL 00
340  INT
341  1
342  +
343  RCL Y
344  -
345   E6
346  /
347  RCL Y
348  1
349  +
350   E3
351  /
352  +
353  +
354  REGMOVE
355  SIGN
356  ST+ 00
357  RTN
358  LBL 04          
359  INT
360  1
361  +
362  STO Y
363   E3
364  /
365  +
366  1
367  +
368  STO 00
369  RTN
370  LBL 10
371  RCL IND 07
372  INT
373  LASTX
374  FRC
375   E3
376  ST/ Z
377  *
378  +
379  1
380  +
381  STO IND 07
382  DSE 07
383  GTO 10
384  END

 
          ( 737 bytes / SIZE ??? )
 
 

      STACK        INPUT      OUTPUT
           X            p      bbb.eee(a)

    Where  p  is an integer  1 < p < 10000

Example:     p = 234
 

    234   XEQ   "LHERT"   >>>>   69.079                         ---Execution time = 9m29s---

    R01 = 69.079       R04 = 33.043
    R02 = 57.067       R05 = 21.031
    R03 = 45.055       R06 =  9.019

-We find

    R69 = 3   R70 = 8797    R71 = 4935   R72 = 7367   R73 = 2970   R74 = 6049   R75 = 9176   R76 = 2143   R77 = 798   R78 = 4873   R79 = 3892

  Whence  a = 38797493573672970604991762143079848733892    ( add zeros on the left if there are less than 4 digits: read  R77 = 0798 )

-Likewise:

  b = 4539228059547741416707179684330872726594233           R57 thru R67
  c = 4539222415350617449572046369482903812700217           R45 thru R55
  d =     77592176903527612114094036950894833445560           R33 thru R43
  e = 4539389645667656502320511122916828671774015           R21 thru R31
  f =  4539389621650236893157740238374801941709375           R09 thru R19

Notes:

-If  p < 10000 , SIZE 122 is enough.
-"LHERT" should also work if p is a little > 10000
-I let you check that the faces areas and the volume are integers too...
 

6°)  Generating Integer Tetrahedra
 

-Here, you specify  a , b , c  and  "ITH" searches for integers  d , e , f  that produce a tetrahedron with an integer volume V
-Then, it returns - if any - the integer volume V  corresponding to the edges lengths  ( a , b , c, d , e , f )
 

Data Registers:              R00 = 4 b2 c2

                                        R01 = a         R04 = d          R07 = a2 + b2         R10 = max(d) + 1           R13 = min(e)
                                        R02 = b         R05 = e          R08 = a2 + c2         R11 = max(e) + 1           R14 = 12
                                        R03 = c         R06 = f           R09 = b2 + c2         R12 = max(f) + 1            R15 = 1
Flags: /
Subroutine:  /
 
 

  01  LBL "ITH"
  02  STO 03
  03  X^2
  04  STO 08
  05  X<>Y
  06  STO 02 
  07  X^2
  08  STO 07
  09  +
  10  STO 09
  11  X<>Y
  12  STO 01
  13  X^2
  14  ST+ 07
  15  ST+ 08
  16  RCL 02
  17  RCL 03     
  18  *
  19  ST+ X
  20  X^2
  21  STO 00
  22  RCL 02
  23  RCL 03
  24  +
  25  STO 10
  26  RCL 02
  27  RCL 03
  28  -
  29  ABS
  30  1
  31  STO 15
  32  +
  33  STO 04
  34  RCL 01
  35  RCL 03 
  36  -
  37  ABS
  38  RCL 15
  39  +
  40  STO 05
  41  STO 13
  42  RCL 01
  43  RCL 03
  44  +
  45  STO 11
  46  12
  47  STO 14     
  48  LBL 01
  49  RCL 01
  50  RCL 02
  51  -
  52  ABS
  53  RCL 04
  54  RCL 05
  55  -
  56  ABS
  57  X<Y?
  58  X<>Y
  59  RCL 15
  60  +
  61  STO 06
  62  RCL 01
  63  RCL 02 
  64  +
  65  RCL 04
  66  RCL 05
  67  +
  68  X<Y?
  69  X<>Y
  70  RDN
  71  X<Y?
  72  GTO 03
  73  STO 12
  74  LBL 02
  75  RCL 00
  76  RCL 09
  77  RCL 04     
  78  X^2
  79  -
  80  STO Z
  81  X^2
  82  -
  83  RCL 01
  84  X^2
  85  *
  86  RCL 08
  87  RCL 05
  88  X^2
  89  -
  90  ST* Z
  91  RCL 02 
  92  *
  93  X^2
  94  -
  95  RCL 07
  96  RCL 06
  97  X^2
  98  -
  99  ST* Z
100  RCL 03
101  *
102  X^2
103  -
104  +
105  X<=0?
106  GTO 00
107  SQRT
108  RCL 14     
109  /
110  FRC
111  X#0?
112  GTO 00
113  LASTX
114  TONE 9
115  RTN
116  LBL 00
117  RCL 06
118  RCL 15
119  +
120  STO 06 
121  RCL 12
122  X>Y?
123  GTO 02
124  LBL 03
125  RCL 05
126  RCL 15
127  +
128  STO 05
129  RCL 11
130  X>Y?
131  GTO 01
132  RCL 13
133  STO 05
134  RCL 04
135  RCL 15     
136  +
137  STO 04
138  RCL 10
139  X>Y?
140  GTO 01
141  PI
142  BEEP
143  END

 
           ( 165 bytes / SIZE 016 )
 
 

      STACK        INPUTS      OUTPUT
           Z             a            /
           Y             b            /
           X             c            V

 When a solution is found, press  R/S  to search another one.

Example:      a = 13   b = 16   c = 18

                 13  ENTER^
                 16  ENTER^
                 18  XEQ "ITH"  >>>>   ( TONE 9 )    V = 84                    ---Execution time = 17mn32s---

    and we find   R04 = 6  ,  R05 = 30  ,  R06 = 27

-So, the tetrahedron  ( 13 , 16 , 18 , 6 , 30 , 27 )  has a volume = 84

-Then press R/S to find another integer tetrahedron, it yields:   ( with a good emulator )  V = 336

          corresponding to  ( 13 , 16 , 18 , 22 , 19 , 27 )

>>>  4 other integer tetrahedra will be found - all with V = 336

-When there is no other solution, the HP-41 executes a BEEP and returns PI in X-register.

Notes:

-An emulator in turbo mode is almost indispensable, unless a , b , c  are very small.
-Otherwise, the executions times would be prohibitive...
-If one or several calculations involve number > 1010 , roundoff-errors may produce a wrong solution or miss a true solution

-Another example:  ( 4 5 6 2 8 7 )  V = 6  and a last one:  ( 41 , 64 , 71 , 29 , 57 , 49 )  gives an integer volume  V = 9702

>>> If you want to store 4 a2 b2 c2 in R00,  replace lines 81 to 85 by the 4 lines:

   RCL 01        and lines  16 to 21  by                              RCL 01         *          X^2
       *                                                                              RCL 02         *        STO 00
     X^2                                                                           RCL 03     ST+ X
       -

   the 1st example will be found in 16m53s instead of 17mn32s, but the example above - with V = 9702 - will not be found because of roundoff-errors !
 
 

References:

[1]  Georges Dostor - "Rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre en fonction des arêtes"
[2]  E. Catalan - "Note sur les sphères tangentes à 4 plans donnés"
[3]  McConnell - "Pseudofaces of Tetrahedra"
[4]  http://planetmath.org/SolidAngle.html
[5]  C. Chisholm, J.A. MacDougall - Rational and Heron tetrahedra.