Frc Integ-Diff

# Fractional Integro-Differentiation for the HP-41

Overview

1°)  A few Elementary Functions
2°)  A few Special Functions

-If a function f is defined by a power series:  f(x) = SUMk=0,1,2,.....   ck xk  ,  its fractional integro-differentiation may be computed by

dµ f / dxµ = Dµ f(x) = SUMk=0,1,2,.....   ck [ Gam(k+1) / Gam(k+1-µ) ] xk-µ    where  µ is a real number ( integer or fractional )

-If the function may be expressed in terms of hypergeometric functions pFq , the following relation is very useful too:

Dµ pFq ( a1 , .......... , ap ; b1 , .......... bq ; x ) = x Gam(b1).........Gam(bq)   p+1F~q+1 ( 1 , a1 , .......... , ap ; 1-µ , b1 , .......... bq ; x )

where   Gam = Euler's Gamma function  and pF~q  is the regularized generalized hypergeometric function  ( cf "Hypergeometric Functions for the HP-41" )

-We have   D0 f(x) = f(x)
-If  µ = 1 , 2 , 3 , ...  we get the 1st , 2nd , 3rd , ...  derivatives
and if  µ = -1 , -2 , -3 , ....  the results are the repeated integrals of the function f  - usually those that vanish for x = 0.

1°)  A few Elementary Functions

Formulae:

•  Hyperbolic Sine                   Dµ Sinh x = 2µ-1 sqrt(PI) x1-µ1F~2 ( 1 ; (2-µ)/2 , (3-µ)/2 ; x2/4 )

•  Hyperbolic Cosine               Dµ Cosh x = (2/x)µ sqrt(PI)  1F~2 ( 1 ; (1-µ)/2 , (2-µ)/2 ; x2/4 )

•  Sine                     Dµ Sin x = 2µ-1 sqrt(PI) x1-µ1F~2 ( 1 ; (2-µ)/2 , (3-µ)/2 ; -x2/4 )

•  Cosine                 Dµ Cos x = (2/x)µ sqrt(PI)  1F~2 ( 1 ; (1-µ)/2 , (2-µ)/2 ; -x2/4 )

•  Logarithm            Dµ Ln x = x FC(µ)log (x)

where     FC(µ)log (x) = (-1)µ-1 (µ-1) !                                               if  µ is a positive integer
and       FC(µ)log (x) = [ Ln x - Psi(1-µ) - gamma ] / Gam(1-µ)        otherwise

Psi = Digamma Function , gamma = Euler's constant = 0.5772156649...  and  Gam = Gamma Function.

•  Exponential          Dµ Exp x = x 1F~1 ( 1 ; 1-µ ; x )

Data Registers:  R00 to R04: temp
Flags:  F09 F10
Subroutines:  "1/G+"  ( or "GAM+" ... )  "PSI"  ( cf "Gamma Function for the HP-41" )

-The M-Code function  HGF+  may be replaced by  XEQ "HGF+"  ( cf "Hypergeometric Functions" )
but in this case, register R00 must be replaced by another - unused - data register.

 01  LBL "DSH"   02  CF 09   03  CF 10   04  GTO 00   05  LBL "DCH"   06  SF 09   07  CF 10   08  GTO 00   09  LBL "DSIN"   10  CF 09   11  SF 10   12  GTO 00   13  LBL "DCOS"   14  SF 09   15  SF 10   16  LBL 00   17  STO 00   18  CLX   19  SIGN   20  STO 01   21  FC? 09   22  ST+ X 23  X<>Y   24  STO 04   25  -   26  STO 02   27  STO 03   28  1   29  ST+ 03   30  FC?C 09    31  ST- 04   32  2   33  ST/ 00   34  ST/ 02   35  ST/ 03   36  CHS   37  RCL 00           38  X^2   39  FS?C 10   40  CHS   41  HGF+   42  RCL 00   43  RCL 04   44  Y^X 45  /   46  PI   47  SQRT   48  *   49  RTN   50  LBL "DLN"    51  STO 00   52  X<>Y   53  STO 01           54  FRC   55  X#0?   56  GTO 00   57  LASTX   58  X<=0?   59  GTO 00   60  1   61  CHS   62  ST+ Y   63  X<>Y   64  Y^X   65  LASTX   66  FACT 67  *   68  GTO 01   69  LBL 00   70  1   71  LASTX   72  -   73  STO 02   74  XEQ "PSI"   75  RCL 00   76  LN   77  X<>Y   78  -   79  .5772156649   80  -   81  X<> 02   82  XEQ "1/G+"   83  RCL 02   84  *   85  LBL 01   86  RCL 00   87  RCL 01   88  Y^X 89  /   90  RTN   91  LBL "DEXP"    92  STO 00   93  CLX   94  SIGN   95  STO 01   96  X<>Y   97  STO 03   98  -   99  STO 02 100  1 101  ENTER^ 102  CHS 103  RCL 00 104  HGF+ 105  RCL 00 106  RCL 03 107  Y^X 108  / 109  END

( 197 bytes / SIZE 005 )

 STACK INPUTS OUTPUTS Y µ / X x (Dµ f) (x)

Examples:

•  Hyperbolic Sine

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DSH"  >>>>   D3.14 Sinh ( 1.28 ) = 1.999005451

•  Hyperbolic Cosine

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DCH"  >>>>  D3.14 Cosh ( 1.28 ) = 1.502958219

•  Sine

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DSIN"  >>>>   D3.14 Sin ( 1.28 ) = -0.019142092

•  Cosine

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DCOS"  >>>>   D3.14 Cos ( 1.28 ) = 0.888787267

•  Logarithm

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DLN"  >>>>   D3.14 Ln ( 1.28 ) = 1.138569850

•  Exponential

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DEXP"  >>>>   D3.14 Exp ( 1.28 ) = 3.501963669

2°)  A few Special Functions

Formulae:

•  Sine Integral             Dµ Si x = 2µ-2  PI  x1-µ2F~3 ( 1/2 , 1 ; 3/2 , (2-µ)/2 , (3-µ)/2 ; -x2/4 )

•  Hyperbolic Sine Integral         Dµ Shi x = 2µ-2  PI  x1-µ2F~3 ( 1/2 , 1 ; 3/2 , (2-µ)/2 , (3-µ)/2 ; x2/4 )

•  Cosine Integral           Dµ Ci x = [ FC(µ)log (x) + gamma / Gam(1-µ) ] x - 2µ-3  sqrt(PI)  x2-µ  2F~3 ( 1 , 1 ; 2 , (3-µ)/2 , (4-µ)/2 ; -x2/4 )

•  Hyperbolic Cosine Integral     Dµ Chi x = [ FC(µ)log (x) + gamma / Gam(1-µ) ] x + 2µ-3  sqrt(PI)  x2-µ  2F~3 ( 1 , 1 ; 2 , (3-µ)/2 , (4-µ)/2 ; x2/4 )

•  Exponential Integral     Dµ Ei x = [ FC(µ)log (x) + gamma / Gam(1-µ) ] x + x1-µ  2F~2 ( 1 , 1 ; 2 , 2-µ ; x )

•  Fresnel Cosine Integral     Dµ C(x) = 22µ-3/2 PI3/2 x1-µ3F~4 [ 1/4 , 3/4 , 1 ; (2-µ)/4 , (3-µ)/4 , (4-µ)/4 , (5-µ)/4 ; -(PI)2 x4/16 ]

•  Fresnel Sine Integral    Dµ S(x) = 22µ-11/2 PI5/2 x3-µ3F~4 [ 3/4 , 1 , 5/4 ; (4-µ)/4 , (5-µ)/4 , (6-µ)/4 , (6-µ)/4 ; -(PI)2 x4/16 ]

•  Spherical Bessel Function - 1st kind      Dµ jn (x) = 2µ-2n-1 PI  xn-µ  Gam(n+1)  2F~3 [ (n+1)/2 , (n+2)/2 ; (n+1-µ)/2 , (n+2-µ)/2 , n+3/2 ; -x2/4 ]

•  Modified Bessel Function - 1st kind      Dµ In (x) = 2µ-2n sqrt(PI) xn-µ  Gam(n+1)  2F~3 [ (n+1)/2 , (n+2)/2 ; (n+1-µ)/2 , (n+2-µ)/2 , n+1 ; x2/4 ]

•  Bessel Function - 1st kind           Dµ Jn (x) = 2µ-2n sqrt(PI)  xn-µ  Gam(n+1)  2F~3 [ (n+1)/2 , (n+2)/2 ; (n+1-µ)/2 , (n+2-µ)/2 , n+1 ; -x2/4 ]

•  Modified Bessel Function - 2nd kind

Dµ Kn (x) = 2µ-2n-1 (PI)3/2  x-µ-n csc(n.PI) { 16n Gam(1-n)  2F~3 [ (1-n)/2 , (2-n)/2 ; (1-µ-n)/2 , (2-µ-n)/2 , 1-n ; x2/4 ]

- x2n Gam(n+1)  2F~3 [ (n+1)/2 , (n+2)/2 ; (n+1-µ)/2 , (n+2-µ)/2 , n+1 ; x2/4 ] }    where n is not an integer.

•  Bessel Function - 2nd kind

Dµ Yn (x) = 2µ-2n (PI)1/2  x-µ-n csc(n.PI) { -16n Gam(1-n)  2F~3 [ (1-n)/2 , (2-n)/2 ; (1-µ-n)/2 , (2-µ-n)/2 , 1-n ; -x2/4 ]

+ x2n Cos(n.PI) Gam(n+1)  2F~3 [ (n+1)/2 , (n+2)/2 ; (n+1-µ)/2 , (n+2-µ)/2 , n+1 ; -x2/4 ] }    where n is not an integer.

•  Generalized Laguerre's Functions   Dµ Lan (x) = [ Gam(n+a+1)/Gam(n+1) ] x2F~2 ( 1 , -n ; a+1 , 1-µ ; x )

•  Airy Functions

Dµ Ai(x) = 3µ-4/3 x  { 32/3 Gam(1/3) 2F~3 [ 1/3 , 1 ; (1-µ)/3 , (2-µ)/3 , (3-µ)/3 ; x3/9 ] - x Gam(2/3) 2F~3 [ 2/3 , 1 ; (4-µ)/3 , (2-µ)/3 , (3-µ)/3 ; x3/9 ] }

Dµ Bi(x) = 3µ-5/6 x  { 32/3 Gam(1/3) 2F~3 [ 1/3 , 1 ; (1-µ)/3 , (2-µ)/3 , (3-µ)/3 ; x3/9 ] + x Gam(2/3) 2F~3 [ 2/3 , 1 ; (4-µ)/3 , (2-µ)/3 , (3-µ)/3 ; x3/9 ] }

•  Error Function     Dµ Erf (x) = 2µ x1-µ 2F~2 [ 1/2 , 1 ; (2-µ)/2 , (3-µ)/2 ; -x2 ]

•  Hermite Function

Dµ Hn (x) = [ 2n+µ (PI) x / Gam((1-n)/2) ] 2F~2 [ 1 , -n/2 ; (1-µ)/2 , (2-µ)/2 ; x2 ] - [ 2n+µ (PI) x1-µ / Gam((-n)/2) ] 2F~2 [ 1 , (1-n)/2 ; 1-µ/2 , (3-µ)/2 ; x2 ]

•  Kummer's Function          Dµ F(a;b;x) = x Gam(b) 2F~2 ( 1 , a ; 1-µ , b ; x )

Data Registers:  R00 to R09: temp
Flags:  F01
Subroutines:  "1/G+"  ( or "GAM+" ... )  "PSI" = digamma function ( cf "Gamma Function for the HP-41" )

-The M-Code function  HGF+  may be replaced by  XEQ "HGF+"  ( cf "Hypergeometric Functions" )
but in this case, register R00 must be replaced by another - unused - data register.
-LBL 08 ( lines 644 to 675 ) is a subroutine that is called by  "DCI"  "DCHI"  &  "DEI"

 01  LBL "DSI"   02  CF 01   03  GTO 00   04  LBL "DSHI"   05  SF 01   06  LBL 00   07  STO 00   08  1   09  STO 02   10  STO 04   11  .5   12  STO 01   13  +   14  STO 03   15  STO 05   16  R^   17  STO 06   18  LASTX   19  *   20  ST- 04   21  ST- 05   22  LASTX   23  1/X   24  3   25  CHS   26  RCL 00   27  LASTX   28  *   29  X^2   30  FC? 01   31  CHS   32  HGF+   33  RCL 00   34  1   35  RCL 06   36  -   37  Y^X   38  *   39  2   40  RCL 06   41  2   42  -   43  Y^X   44  *   45  PI   46  *   47  RTN   48  LBL "DCI"   49  CF 01   50  GTO 00   51  LBL "DCHI"   52  SF 01   53  LBL 00   54  STO 06   55  CLX   56  2   57  STO 03   58  STO 05   59  SIGN   60  STO 01   61  STO 02   62  STO 04   63  X<>Y   64  STO 07   65  LASTX   66  1/X   67  ST+ 04   68  *   69  ST- 04   70  ST- 05   71  3   72  CHS   73  RCL 06   74  2   75  STO T   76  /   77  X^2   78  FC? 01   79  CHS   80  HGF+   81  RCL 06    82  2   83  ST/ Y   84  ST/ Z   85  RCL 07              86  -   87  Y^X   88  *   89  PI   90  SQRT   91  *   92  STO 08   93  XEQ 08   94  RCL 06   95  RCL 07   96  Y^X   97  /   98  RCL 08   99  FC? 01 100  CHS 101  + 102  RTN 103  LBL "DEI" 104  STO 06 105  CLX 106  2 107  STO 03 108  X<>Y 109  STO 07 110  - 111  STO 04 112  1 113  STO 01 114  STO 02 115  2 116  ENTER^ 117  CHS 118  RCL 06 119  HGF+ 120  RCL 06 121  * 122  STO 05 123  XEQ 08 124  RCL 05 125  + 126  RCL 06 127  RCL 07 128  Y^X 129  / 130  RTN 131  LBL "DCX" 132  CF 01 133  GTO 00 134  LBL "DSX" 135  SF 01 136  LBL 00 137  STO 00 138  X<>Y 139  STO 08 140  CHS 141  4 142  / 143  STO 04 144  STO 05 145  STO 06 146  STO 07 147  3 148  LASTX 149  1/X 150  STO 01 151  STO 09 152  * 153  STO 02 154  ST+ 05 155  1 156  STO 03 157  ST+ 06 158  FC? 01 159  GTO 00 160  ST+ 01 161  ST+ 04 162  ST+ 05 163  LBL 00 164  LASTX 165  + 166  ST+ 07 167  .5 168  ST+ 04 169  3 170  4 171  CHS 172  RCL 00 173  X^2 174  PI 175  * 176  4 177  / 178  ST* 09 179  X^2 180  CHS 181  HGF+ 182  RCL 00 183  1 184  RCL 08 185  - 186  Y^X 187  * 188  RCL 09 189  X<>Y 190  FS? 01 191  * 192  PI 193  1.5 194  STO 09 195  Y^X 196  * 197  2 198  RCL 08  199  ST+ X 200  RCL 09            201  - 202  Y^X 203  * 204  RTN 205  LBL "DSB1" 206  STO 00 207  RDN 208  STO 06 209  1 210  + 211  STO 05 212  .5 213  STO 02 214  STO 04 215  ST+ 05 216  * 217  STO 01 218  STO 03 219  ST+ 02 220  ST+ 04 221  X<>Y 222  STO 07 223  LASTX 224  * 225  ST- 03 226  ST- 04 227  2 228  3 229  CHS 230  RCL 00 231  LASTX 232  * 233  X^2 234  CHS 235  HGF+ 236  STO 01 237  RCL 06 238  1 239  + 240  XEQ "1/G+" 241  ST/ 01 242  RCL 00 243  RCL 06 244  RCL 07 245  - 246  Y^X 247  RCL 01 248  * 249  PI 250  * 251  2 252  RCL 07 253  RCL 06 254  ST+ X 255  - 256  1 257  - 258  Y^X 259  * 260  RTN 261  LBL "DINX" 262  SF 01 263  GTO 00 264  LBL "DJNX" 265  CF 01 266  LBL 00 267  STO 06 268  RDN 269  STO 07 270  1 271  + 272  STO 05 273  2 274  / 275  STO 01 276  STO 03 277  LASTX 278  1/X 279  + 280  STO 02 281  X<>Y 282  CHS 283  STO 08 284  LASTX 285  * 286  ST+ 03 287  + 288  STO 04 289  3 290  CHS 291  RCL 06 292  2 293  STO T 294  / 295  X^2 296  FC? 01 297  CHS 298  HGF+ 299  STO 01 300  RCL 05 301  XEQ "1/G+" 302  ST/ 01 303  RCL 06 304  RCL 07 305  RCL 08 306  + 307  Y^X 308  RCL 01 309  * 310  2 311  RCL 07 312  ST+ X 313  RCL 08  314  + 315  Y^X 316  / 317  PI 318  SQRT 319  * 320  RTN 321  LBL "DKNX" 322  SF 01 323  GTO 00 324  LBL "DYNX" 325  CF 01 326  LBL 00            327  STO 06 328  RDN 329  STO 07 330  1 331  X<>Y 332  - 333  STO 03 334  2 335  / 336  STO 01 337  STO 04 338  LASTX 339  1/X 340  + 341  STO 02 342  X<>Y 343  CHS 344  STO 08 345  LASTX 346  * 347  ST+ 04 348  + 349  STO 05 350  3 351  CHS 352  RCL 06 353  2 354  STO T 355  / 356  X^2 357  FC? 01 358  CHS 359  STO 00 360  HGF+ 361  STO 09 362  RCL 03 363  XEQ "1/G+" 364  ST/ 09 365  16 366  RCL 07 367  ST+ 01 368  ST+ 02 369  ST+ 04 370  ST+ 05 371  Y^X 372  ST* 09 373  RCL 07 374  1 375  + 376  STO 03 377  2 378  3 379  CHS 380  RCL 00 381  HGF+ 382  STO 01 383  RCL 03 384  XEQ "1/G+" 385  ST/ 01 386  RCL 06 387  RCL 07 388  ST+ X 389  Y^X 390  RCL 01 391  * 392  1 393  CHS 394  ACOS 395  RCL 07 396  * 397  STO 05 398  FS? 01 399  CLX 400  COS 401  * 402  RCL 09 403  - 404  2 405  RCL 08 406  RCL 07 407  ST+ X 408  + 409  Y^X 410  / 411  PI 412  SQRT 413  * 414  RCL 06 415  RCL 08 416  RCL 07 417  - 418  Y^X 419  * 420  RCL 05 421  SIN 422  / 423  PI 424  2 425  / 426  CHS 427  X<>Y 428  FS? 01 429  * 430  RTN 431  LBL "DLANX" 432  STO 00  433  RDN 434  CHS 435  STO 02 436  CLX 437  SIGN 438  STO 01 439  + 440  STO 04 441  X<>Y 442  CHS 443  STO 05 444  LASTX 445  + 446  STO 03 447  2 448  ENTER^ 449  CHS 450  RCL 00 451  HGF+ 452  RCL 00 453  RCL 05 454  Y^X 455  * 456  X<> 01 457  RCL 02 458  - 459  XEQ "1/G+" 460  ST* 01 461  RCL 04 462  RCL 02 463  - 464  XEQ "1/G+" 465  ST/ 01 466  X<> 01 467  RTN 468  LBL "DAIRY" 469  STO 00 470  1 471  STO 02 472  STO 04 473  ST+ X 474  3 475  / 476  STO 01 477  STO 03 478  ST+ X 479  STO 05 480  R^ 481  STO 06 482  LASTX 483  / 484  ST- 03 485  ST- 04 486  ST- 05 487  2 488  LASTX 489  CHS 490  RCL 00 491  3 492  Y^X 493  9 494  / 495  STO 07 496  HGF+ 497  RCL 00 498  * 499  STO 08 500  RCL 01 501  XEQ "1/G+" 502  ST/ 08 503  1 504  ST- 05 505  3 506  1/X 507  STO 01 508  2 509  LASTX 510  CHS 511  RCL 07 512  HGF+ 513  9 514  RCL 01 515  Y^X 516  * 517  STO 07 518  RCL 01 519  XEQ "1/G+" 520  RCL 07 521  X<>Y 522  / 523  STO Y 524  RCL 08 525  ST- Z 526  + 527  3 528  RCL 00 529  / 530  RCL 06 531  Y^X 532  ST* Z 533  * 534  243 535  6 536  1/X 537  Y^X 538  / 539  X<>Y 540  81 541  RCL 01 542  Y^X 543  / 544  RTN 545  LBL "DERF" 546  STO 05 547  X<>Y 548  CHS 549  STO 06  550  3 551  + 552  2 553  / 554  STO 04            555  1 556  STO 02 557  RCL 06 558  LASTX 559  1/X 560  STO 01 561  * 562  + 563  STO 03 564  2 565  ENTER^ 566  CHS 567  RCL 05 568  X^2 569  CHS 570  HGF+ 571  RCL 05 572  ST* Y 573  RCL 01 574  * 575  RCL 06 576  Y^X 577  * 578  RTN 579  LBL "DHMT" 580  STO 00 581  CLX 582  SIGN 583  STO 01 584  STO 03 585  .5 586  STO 02 587  + 588  STO 04 589  RDN 590  STO 05 591  LASTX 592  * 593  ST- 02 594  X<>Y 595  STO 06 596  LASTX 597  * 598  ST- 03 599  ST- 04 600  2 601  ENTER^ 602  CHS 603  RCL 00 604  X^2 605  HGF+ 606  RCL 00 607  * 608  STO 08 609  RCL 02 610  XEQ "1/G+" 611  STO 07 612  RCL 05 613  CHS 614  2 615  / 616  STO 02 617  XEQ "1/G+" 618  ST* 08 619  1 620  ST- 04 621  2 622  ENTER^ 623  CHS 624  RCL 00 625  X^2 626  HGF+ 627  RCL 07 628  * 629  RCL 08 630  - 631  2 632  RCL 05 633  RCL 06 634  + 635  Y^X 636  * 637  RCL 00 638  RCL 06 639  Y^X 640  / 641  PI 642  * 643  RTN 644  LBL 08 645  RCL 07 646  FRC 647  X#0? 648  GTO 00 649  LASTX 650  X<=0? 651  GTO 00 652  1 653  CHS 654  ST+ Y 655  X<>Y 656  Y^X 657  LASTX 658  FACT 659  * 660  RTN 661  LBL 00 662  1 663  LASTX 664  - 665  STO 04  666  XEQ "PSI" 667  RCL 06            668  LN 669  X<>Y 670  - 671  X<> 04 672  XEQ "1/G+" 673  RCL 04 674  * 675  RTN 676  LBL "DKUM" 677  STO 00 678  X<>Y 679  STO 05 680  CHS 681  RCL 02 682  STO 04 683  CLX 684  SIGN 685  STO 02 686  + 687  STO 03 688  2 689  ENTER^ 690  CHS 691  RCL 00 692  HGF+ 693  X<> 04 694  STO 02 695  XEQ "1/G+" 696  ST/ 04 697  RCL 04 698  RCL 00 699  RCL 05 700  Y^X 701  / 702  END

( 1008 bytes / SIZE 010 )

 STACK INPUTS1 INPUTS2 INPUTS3 OUTPUTS T / / µ / Z / µ a / Y µ n n / X x x x (Dµ f) (x)

µ is always to be entered first, then the order/index - if any - and finally,  x in register X

Examples:

•  Sine Integral

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DSI"  >>>>   D3.14 Si ( 1.28 ) = -0.045395644

•  Hyperbolic Sine Integral

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DSHI"  >>>>   D3.14 Shi ( 1.28 ) = 0.576495211

•  Cosine Integral

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DCI"  >>>>   D3.14 Ci ( 1.28 ) = 1.367323895

•  Hyperbolic Cosine Integral

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DCHI"  >>>>   D3.14 Chi ( 1.28 ) = 1.405640394

•  Exponential Integral

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DEI"  >>>>   D3.14 Ei ( 1.28 ) = 1.982135606

•  Fresnel Cosine Integral

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DCX"  >>>>   D3.14 C ( 1.28 ) = 16.95612253

•  Fresnel Sine Integral

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DSX"  >>>>   D3.14 S ( 1.28 ) = -11.20302776

•  Spherical Bessel Function - 1st kind

3.14   ENTER^
2.41   ENTER^
1.28   XEQ "DSB1"  >>>>   D3.14 j2.41 ( 1.28 ) = -0.064451622

•  Modified Bessel Function - 1st kind ,  n # -1 , -2 , -3 , .................

3.14   ENTER^
2.41   ENTER^
1.28   XEQ "DINX"  >>>>   D3.14 I2.41 ( 1.28 ) = 0.352247279

•  Bessel Function - 1st kind ,  n # -1 , -2 , -3 , .................

3.14   ENTER^
2.41   ENTER^
1.28   XEQ "DJNX"  >>>>   D3.14 J2.41 ( 1.28 ) = -0.150524582

•  Modified Bessel Function - 2nd kind - non-integer order

3.14   ENTER^
2.41   ENTER^
1.28   XEQ "DKNX"  >>>>   D3.14 K2.41 ( 1.28 ) = -38.98469314

•  Bessel Function - 2nd kind - non-integer order

3.14   ENTER^
2.41   ENTER^
1.28   XEQ "DYNX"  >>>>   D3.14 Y2.41 ( 1.28 ) = 25.49308580

•  Generalized Laguerre's Functions

3.14   ENTER^
1.76   ENTER^
2.41   ENTER^
1.28   XEQ "DLANX"  >>>>   D3.14 L1.762.41 ( 1.28 ) = -1.767203465

•  Airy Functions

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DAIRY"  >>>>   D3.14 Ai ( 1.28 ) = -0.162004857    X<>Y   D3.14 Bi ( 1.28 ) = 3.432592624

•  Error Function

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DERF"  >>>>   D3.14 Erf ( 1.28 ) = 1.250557023

•  Hermite Function

3.14   ENTER^
2.41   ENTER^
1.28   XEQ "DHMT"  >>>>   D3.14 H2.41 ( 1.28 ) = 3.537707646

•  Kummer's Functions      With  a = sqrt(2)  &  b = sqrt(3)

2   SQRT   STO 01     3   SQRT   STO 02

3.14   ENTER^
1.28   XEQ "DKUM"  >>>>   D3.14 F ( 21/2 ; 31/2 ; 1.28 ) = 2.075891500

Notes:

-For Kummer's Functions,  R01 & R02 must be initialized first.
-R02 is modified during the calculations, but its original content is restored at the end.

-As usual when a function is evaluated by a power series, the results are not very accurate for large arguments,
-They may even be meaningless ... unless all the terms have the same sign !

Reference: